Notes (1). Fourier transform of Orstein-Zernicke form

Ginzburg-Landau theory 공부하다 보면 나오는 상관함수인데 볼 때 마다 새로워서 정리해 본다.

\[G(\mathbf x,0) = \frac1\gamma \int \frac{d^dk}{(2\pi)^d} \frac{e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf x}}{k^2+\xi^{-2}}\]

Tong의 강의노트 (2.23)식을 보면 다음과 같은 트릭을 이용한다. \(\frac1{k^2+\xi^{-2}} = \int_0^\infty dt~e^{t(k^2+\xi^{-2})}\)

\(G(\mathbf x,0) = \frac1\gamma \int \frac{d^dk}{(2\pi)^d}\int_0^\infty dt~e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf x}e^{-t(k^2+\xi^{-2})}\) 지수 부분을 완전제곱식 형태로 정리하서 \(\begin{align*} -i\mathbf k\cdot\mathbf x-t(k^2+\xi^{-2}) =& -t\left(k^2+\frac it\mathbf k\cdot \mathbf x\right)-t\xi^{-2}\\ =&-t\left(\mathbf k+\frac i{2t}\mathbf x\right)^2-\frac {x^2}{4t}-t\xi^{-2} \end{align*}\) 원래 적분을 다음과 같이 바꿀 수 있다. \(\begin{align*} G(\mathbf x,0) =& \frac1\gamma \int \frac{d^dk}{(2\pi)^d}\int_0^\infty dt\exp\left[-t\left(\mathbf k+\frac i{2t}\mathbf x\right)^2-\frac {x^2}{4t}-t\xi^{-2}\right]\\ =&\frac1\gamma\int_0^\infty dt \left(\frac\pi t\right)^{d/2}\frac1{(2\pi)^d} e^{-x^2/4t-t\xi^{-2}}\\ =&\frac1{\gamma(4\pi)^{d/2}}\int_0^\infty dt~t^{-d/2} e^{-x^2/4t-t\xi^{-2}} \end{align*}\)

여기서는 베셀 함수의 적분포현을 이용하면 된다고 하는데, 현재 관심사는 $x\ll\xi$, $x\gg\xi$ 이 두가지 영역에서 $G$의 거동이기 때문에, 안장점 근사를 이용하면 충분하다.

즉, \(S(t) = \frac{x^2}{4t}+\frac{t}{\xi^2}+\frac d2\log t\) 일 때, $S’(t)\vert_{t=t^\ast}=0$인 $t^\ast$를 찾아서, 위 적분을 \(G(\mathbf x,0) = \int_0^\infty dt~e^{-S(t)}\sim \sqrt{\frac{\pi}{2S''(t^\ast)}}e^{-S(t^\ast)}\) 로 근사한다는 뜻이다.

$t^\ast$는 미분을 통해 \(t^\ast = \frac{\xi^2}2\left(-\frac d2 + \sqrt{\frac{d^2}4+\frac{x^2}{\xi^2}}\right)\) 로 찾을 수 있다.

$x\ll\xi$인 경우

$\sqrt{1+x}\approx 1+x/2$를 이용하면 \(t^\ast \approx \frac{\xi^2}2\left[-\frac d2+\frac d2\left(1+\frac{2x^2}{d^2\xi^2}\right)\right] = \frac{x^2}{2d}\) 이고, \(S''(t^\ast) \approx \frac{2d^3}{x^4},\qquad S(t^\ast)\approx \frac d2+\frac d2\log\left(\frac{x^2}{2d}\right)\) 이므로, $G$의 거동은 \(G(\mathbf x,0)\sim x^{2-d}\) 를 따른다.

$x\gg\xi$인 경우