Stochastic process. Wiener process

그동안 미루고 미뤘던 Stochastic process를 드디어 보기 시작했다. 1,2장은 이 책의 background에 대한 설명이고 3장부터 본격적인 stochastic process를 소개하는데, 시간이 날 때 마다 조금씩 정리하려 한다.

Markov process 중 물리학에서 가장 익숙하고 직관적인 과정은 아무래도 Wiener process가 아닐까 싶다. Wiener process는 drift term 없이 diffusion만 존재하는 과정으로 시간 $t$에서 입자의 위치를 $x$라고 하자. 그러면 입자의 확산도 $D$를 가지고 Wiener process의 Fokker-Planck equation은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[\partial_t p(x,t\vert x_0,t_0) = -\frac 12D\partial_x^2p(x,t\vert x_0,t_0)\]

여기서 입자의 초기조건은 $p(x,t_0\vert x_0,t_0) = \delta(x-x_0)$이다.

조건부 확률 구하기

위 조건부 확률의 특성함수를

\[\phi(s,t) = \int dx~p(x,t\vert x_0,t_0)e^{isx},~~~p(x,t\vert x_0,t_0)=\int\frac{ds}{2\pi}\phi(s,t)e^{-isx}\]

로 쓰면, 특성함수는 다음과 같은 식을 만족한다.

\(\partial_t \phi(s,t) = -\frac12Ds^2\phi(s,t)\) 이 미분방정식의 해는 \(\phi(s,t) = \phi(s,t_0)\exp\left[ -\frac12Ds^2(t-t_0) \right] = \exp\left[ isx_0-\frac12Ds^2(t-t_0) \right]\) 이고, $\phi(s,t_0)$은 주어진 초기조건으로부터 알아내면 된다.

따라서 원래 구하고자 했던 조건부확률은 \(p(x,t\vert x_0,t_0) = \int\frac{ds}{2\pi} \exp\left[ is(x_0-x)-\frac12D(t-t_0)s^2 \right]\) 이고, 가우스 적분의 성질을 이용하면 다음과 같이 계산할 수 있다. \(p(x,t\vert x_0,t_0) = \frac1{\sqrt{2\pi D(t-t_0)}}\exp\left[-\frac{(x-x_0)^2}{2D(t-t_0)} \right]\)

성질

• Wiener process의 분산은 $t$에 비례하므로, 시간이 지날수록 매우 넓은 분포를 가진다. 이는 Wiener process의 sample path가 매우 irregular하다는 것을 의미한다.
• Wiener process의 sample path는 모든 점에서 연속이지만, 미분 불가능하다(!).
• (Independence of increment)

Reference

• C. W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods second edition