1차원 이징 모형(recursive method)

$N$개의 스핀으로 이루어진 1차원 이징 사슬을 생각하자. 외부 자기장이 없는 경우 계의 해밀토니안은 다음과 같다.

\[\mathcal{H} = -\sum^{N-1}_{i=1} \tilde{J}_i\sigma_i\sigma_{i+1}\]

이 때 상호작용 계수 $\tilde{J}_i$가 같을 필요는 없다. 이 때 분배함수는

\[Z_N = \sum_{\sigma_1 = \pm 1}\sum_{\sigma_2 = \pm 1}\cdots\sum_{\sigma_N = \pm 1}\exp\left[\sum^{N-1}_{i=1}J_i\sigma_i\sigma_{i+1}\right]\]

이고, 여기서 $J_i = \beta\tilde{J}_i$는 상호작용 계수에 해당하는 무차원 수이다. 만약 여기에 하나의 스핀을 더 추가한다면 분배함수는

\[Z_{N+1} = \sum_{\sigma_1 = \pm 1}\sum_{\sigma_2 = \pm 1}\cdots\sum_{\sigma_N = \pm 1}\exp\left[\sum^{N-1}_{i=1}J_i\sigma_i\sigma_{i+1}\right]\sum_{\sigma_{N+1}=\pm 1}\exp\left(J_N\sigma_N\sigma_{N+1}\right)\]

가 되고 마지막 항은

\[\sum_{\sigma_{N+1}=\pm 1}\exp\left(J_N\sigma_N\sigma_{N+1}\right) = e^{J_N\sigma_N}+e^{-J_N\sigma_N} = 2\cosh J_N\]

가 된다. $\cosh$는 우함수이므로 $\sigma_N$은 생략할 수 있다. 결국 스핀이 하나 더해질 때 마다 원래의 분배함수에 $2\cosh J_N$가 계속 곱해지는 것이므로 $N$개의 스핀에 대한 분배함수를 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[Z_N = 2^N \prod^{N-1}_{i=1} \cosh J_i\]

두 스핀 사이의 상관함수

이제 두 스핀 사이의 상관함수(correlation function)를 계산해보자. 두 스핀 사이의 상관함수는 다음과 같은 형태로 주어진다.

\[G^{(2)}(r) = \langle \sigma_k\sigma_{k+r}\rangle = Z^{-1}_N \sum_{\{\sigma\}} \sigma_k\sigma_{k+r}\exp\left[\sum^{N-1}_{i=1}J_i\sigma_i\sigma_{i+1}\right]\]

먼저 $r=1$인 경우를 보면 상관함수는

\[G^{(2)}(1) = \langle \sigma_k\sigma_{k+1}\rangle = Z^{-1}_N \frac{\partial}{\partial J_k}\sum_{\{\sigma\}} \exp\left[\sum^{N-1}_{i=1}J_i\sigma_i\sigma_{i+1}\right]\]

와 같이 분배함수의 $J_k$에 대한 미분으로 주어진다는 것을 알 수 있다. $r=2$라면,

\[G^{(2)}(2) = \langle \sigma_k\sigma_{k+2}\rangle = Z^{-1}_N \sum_{\{\sigma\}}\sigma_i\sigma_{i+2} \exp\left[\sum^{N-1}_{i=1}J_i\sigma_i\sigma_{i+1}\right]\]

일 것이고, $\sigma^2_i = 1$이므로 위 식은

\[G^{(2)}(2) = \langle \sigma_k\sigma_{k+2}\rangle = Z^{-1}_N \sum_{\{\sigma\}}(\sigma_i\sigma_{i+1})(\sigma_{i+1}\sigma_{i+2}) \exp\left[\sum^{N-1}_{i=1}J_i\sigma_i\sigma_{i+1}\right] \\=Z^{-1}_N \frac{\partial}{\partial J_k}\frac{\partial}{\partial J_{k+1}}Z_N\]

와 같이 분배함수의 미분형태로 쓸 수 있다. 따라서 임의의 $r$에 대한 상관함수는

\[G^{(2)}(r) =Z^{-1}_N \frac{\partial}{\partial J_k}\frac{\partial}{\partial J_{k+1}}\cdots \frac{\partial}{\partial J_{k+r-1}}Z_N\]

가 됨을 알 수 있다. 분배함수의 정확한 형태를 알고 있으니 이를 위 식에 대입해보면 상관함수의 정확한 형태도 다음과 같이 알아낼 수 있다.

\[G^{(2)}(r) = \frac{2^N\cosh J_1 \cdots \cosh J_{k-1} \sinh J_k \cdots \sinh J_{k+r-1} \cosh J_{k+r} \cdots \cosh J_{N-1} }{2^N \prod^{N-1}_{i=1} \cosh J_i} \\= \prod^r_{i=1} \tanh J_{k+i-1}\]

만일 상호작용 계수 $J_i$가 모두 같다면, 상관함수는

\[G^{(2)}(r) = (\tanh J)^r = \exp \left(-r/\xi\right)\]

와 같이 쓸 수 있다. 이 때 $\xi$는 상관 길이(correlation length)이고 다음과 같이 주어진다.

\[\xi(J) = -\frac{1}{\log\tanh J}\]

상전이가 일어나는 임계점에서는 상관길이가 발산하기 때문에 이를 통해 임계온도 $T_c$를 알아볼 수 있을 것이다. 1차원의 경우 $T=0$일 때, 즉 $J = \tilde{J}/k_BT \rightarrow \infty$가 될 때 상관길이가 발산함을 알 수 있다. 따라서 $1$차원 이징 모형에서는 유한한 온도에서 강자성-상자성 상전이가 일어나지 않는다.

열역학적 설명

Reference

[1] Statistical Field Theory : An Introduction to Exactly Solved Models in Statistical Physics, Giuseppe Mussardo, OXFORD, 2010